라플라스 변환
작성일 : 2023년 03월 12일 (Sunday)
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라플라스 변환은 푸리에 변환의 한계점을 극복한 변환이다. 푸리에 변환은 디리클레 조건에 의해서 모든 구간에 대해 완전히 적분가능해야 해서 발산하는 신호에 대해서는 적용이 불가능했었다. 라플라스 변환의 핵심 개념은 감쇄되는 신호인 $e^{-\sigma t}$를 커널함수로 이용해서 어느 정도 발산하는 신호에 대해서도 발산을 억제하여 변환이 가능하도록 하는 것이다. 푸리에 변환보다 완화된 수렴 조건만 만족하면, 발산하는 신호에 대해서도 적용할 수 있기 때문에 조금 더 일반적으로 사용된다. 정리하자면, 푸리에 변환은 라플라스 변환의 가장 간단한 버전($\sigma = 0$)이라고 할 수 있다.
Unilateral(One-Sided) Laplace Transform (단방향 라플라스 변환)
단방향 라플라스 변환은 초기조건이 없는 경우에 사용된다. 즉, LTI 시스템이라면 Causality 특성에 의해서 양방향 라플라스 변환을 사용해야 한다.
$$ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0^{-}}^{\infty}f(t)e^{-st}dt $$
$$ (0^{-} = \lim{\epsilon \to 0}{0 - \epsilon}) $$
$$ s = \sigma + jw $$
단방향 라플라스 변환 (Unilateral(One-Sided) Laplace Transform)
Bilateral(Two-Sided) Laplace Transform (양방향 라플라스 변환)
양방향 라플라스 변환은 초기조건이 0이 아닌 경우, 이전 입력값까지 포함하여 분석하기 위한 변환이다. 양방향 라플라스 변환은 $\mathcal{L}$대신 $\mathcal{B}$로도 표현한다.
$$ F(s) = \mathcal{B}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt $$
$$ s = \sigma + jw $$
양방향 라플라스 변환 (Bilateral(Two-Sided) Laplace Transform)
라플라스 변환의 수렴 조건 (ROC; Region of Convergence)
라플라스 역변환
$\gamma$는 경로적분이 F(s)의 ROC안에 있도록 하는 값이다.
$$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F \}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T \rightarrow \infty}\int_{\gamma -iT}^{\gamma + iT}F(s)e^{st}ds $$
라플라스 역변환
라플라스 변환의 의의
- 참고문헌
- Daniel Fleisch - A Student’s Guide to Laplace Transforms-Cambridge University Press (2022)
