선로정수와 안정도
작성일 : 2023년 11월 14일 (Tuesday)
이제 계산의 영역으로 들어왔다. 모든 전선은 금속으로 이루어져 있다. 금속은 어쩔 수 없이 저항성분을 가질 수 밖에 없고, 케이블의 구조에 따라 커패시턴스(정전용량), 인덕턴스, 컨덕턴스를 가지게 된다. 전력공학에서는 저항, 인덕턴스, 커패시턴스의 값을 구하는 문제가 종종 출제된다. 앞으로 저항, 인덕턴스, 커패시턴스, 누설 컨덕턴스(커패시턴스와 병렬)를 각각 RLCG라고 하겠다. G는 크기가 매우 작아 일반적으로 무시되니 제외하고, R, L, C를 구하는 공식은 다음과 같다.
$$ R = \rho \frac{l}{S} [Ω] $$
$$ L = 0.05 + 0.4605{\log}_{10}\frac{D}{r} [mH/km] $$
$$ C = \frac{0.02413}{\log _{10}\frac{D}{r}} [\mu F/km] $$
$$ Z = R + jwL $$
$$ Y = G + jwC $$
RLC 공식
위에서 l은 전선의 길이, S는 전선의 단면적, $\rho$는 전선 재료의 비저항 (단위는 Ω·m), r은 전선의 반지름, D는 두 전선 간의 거리, L은 전선간의 인덕턴스, C는 전선 간의 정전 용량을 의미한다. 위 공식의 유도는 전자기학에서 다뤄진다. (링크)
선로정수는 정전 유도 장해, 전자 유도 장해 등 여러가지 현상을 분석하는데 도움이 된다. 일단 어떤 문제가 발생하는 지 이해하기 위해서는 송전의 방식에 대해 이해하고 관련 용어들도 알고 있어야 한다. 일단, 그 내용을 먼저 살펴보자.
선로정수의 활용 : 계통 안정도
전력계통(발전설비, 송전선로, 변전소, 배전선로 등 공장부터 일반 가정 등이 연결된 수전설비까지를 모두 아우르는 시스템. 系統<계통>은 '일정한 차례에 따라 이어져 있는 것'을 말한다.)이 어느 운전 조건 하에서도 정상적으로 부하에 전력을 공급하여 계통 운전에 아무 지장이 없도록 하는 정도를 말한다. 다른말로 전체 운용 시간 대비 정상 운영 시간의 비율 (가용성) 을 말한다. 일반적으로 안정도라고 하고, 안정도는 정태 안정도, 과도 안정도, 동태 안정도로 나눠진다. 정태란 이미 정해져있는 형태라는 뜻으로 정태 안정도는 정상 부하 변동 조건에서 병렬 운전 중인 발전기들이 상호 간 동기를 유지하면서 운전할 수 있는가를 말한다. 과도 안정도란 상태가 변경되는 동안의 안정도를 말한다. 주로, 계통에서 사고가 발생하는 것처럼 급격한 부하의 변화가 발생했을 때의 안정도를 말한다. 동태 안정도란 발전기에 AVR(자동 전압 조정 장치; Automatic Voltage Regulator)와 조속기를 이용하여 발전량을 조절하여 성능을 높인 발전기의 안정도를 말한다. 정태로 운영시에는 출력이 고정이고, 동태로 운영시에는 출력이 필요한 양으로 제어된다.
전력계통의 안정도는 송전단과 수전단의 위상차를 기준으로 판단한다. 위상차는 선로정수에 의해서 결정된다. 사고가 발생하거나 특정 이유로 부하가 급변한다는 의미는 이 선로정수의 값이 급격하게 변화하는 경우를 말한다. 선로정수는 매 상황에 따라 값이 매번 달라지기 때문에 일반적으로 단거리, 중거리, 장거리 선로의 케이스로 구분한다.
선로정수
송전시, 회로를 분석할 때 선로정수를 사용하는데 선로정수 불평형시 예상치 못한 문제가 초래될 수 있으므로 연가를 통해 각 상이 어느 곳에서나 선로정수가 일정할 수 있도록 해야 한다. 이를 위해서 연가를 하는데, 연가는 선로의 총 길이를 3등분하여 위치를 서로 변경하는 것을 말한다.
우리 나라는 3상 송전을 하므로 연가가 꼭 필요하다.
송전 거리 별 송전 선로
단거리는 50km 이하, 중거리는 50km 초과 100km 이하, 장거리는 100km 초과를 말한다. 단거리 집중 정수 회로 방식으로 분석하고, 중거리는 T회로 또는 $\pi$회로, 장거리 선로는 분포 정수 회로 방식으로 분석한다.
집중 정수 회로와 분포 정수 회로
집중 정수 회로란 선로 정수가 한 곳에 모여있다고 가정하는 방식이고, 분포 정수 회로는 선로 정수가 골고루 분포되어 있다고 가정하는 방식이다.
단거리 송전 선로 (집중 정수 회로)
커패시턴스는 단거리에서는 인덕턴스에 비해서 굉장히 작은 편에 속하기 때문에 무시한다. 따라서, R과 L의 집중 정수 회로로 분석한다. 단거리 송전 선로는 중거리나 장거리에 비해서 비교적 전압 강하가 작은 편이다. 단거리 송전 선로의 전압강하를 봐보자.
먼저, 송전 선로에서 각 선간의 전압을 선간 전압이라고 하고, 한 선과 대지 간의 전압을 상전압이라고 한다. 우리나라는 3상으로 송전하기 때문에 1상 1선식에서의 전압강하를 고려할 필요는 없지만, 3상에서의 전압강하식을 계산하기 위해서 먼저 1상 1선식에서의 전압강하를 이해할 필요가 있다.
1상 1선식 전압강하 계산
전압강하를 이해하기 위해서 전압강하에 대한 벡터도를 그려보자.
먼저, 구조를 먼저 설명하면 단거리 송전 선로의 전압강하는 송전단과 수전단 사이의 전압강하를 말한다. 위의 전압강하 벡터도에서는 이 전압강하를 e로 송전단의 전압을 $E_s$, 수전단의 전압을 $E_r$로 표현하였다. 그리고, 송전전압과 전류와의 위상차를 $\theta$, 송전단과 수전단 사이의 위상차를 $\delta$로 표현하였다. RL 회로이기 때문에 지상전류가 흐르지만 90도보다는 위상차가 작으므로 $\theta$를 90도보다 작게 그렸다. 벡터도는 벡터로 표현된 전압을 서로 더하기 위한 것이기 때문에 더해질 벡터들은 벡터의 끝에서 벡터를 그렸다. 즉, $E_s = E_r + IR + IX$ 라는 의미이다. 이 때, $e = E_s - E_r$이기 때문에, $e = IR + IX$가 된다.
이제 전압강하 계산을 위해서 아래의 벡터도를 참고하자.
원래는 e는 위와 같이 표현된다. 하지만 아래 그림을 봐보자. e는 보다 간단하게 표현될 수 있다. (e’) 그 이유는 전선의 인덕턴스 성분이 아주 크지는 않아서 $\theta$ 가 작으므로 cosθ가 sinθ보다 매우 크기 때문이다. 삼각형의 밑변을 보면 R과 cosθ를 곱하는 항과 $E_r$이 동시에 더해지고 있기 때문에 상대적으로 크기가 매우 작은 IXcosθ - IRsinθ는 무시해도 문제없을 정도의 값이 된다.
결과적으로 전압강하는 $e = I(Rcosθ + Xsinθ) = \frac{P}{V_r cos{\theta}}(Rcosθ + Xsinθ)$가 된다.
3상 전압강하 계산 (선간 전압강하)
그렇다면, 3상에서는 어떻게 될까? 이번에는 선간 전압강하를 구해본다. 벡터도를 보면 쉽게 답이 구해진다.
$e = E_s - E_r$ 이므로 아래와 같이 표현될 수 있다.
상전압 기준으로 e = I(Rcosθ + Xsinθ)이었고, 두 벡터간의 사이각이 120도 이므로 선간전압 기준 전압강하는 e’ = $\sqrt{3}$I(Rcosθ + Xsinθ)이 된다. 마찬가지로, 3상에서는 전력식도 조정이 되어야 한다. 선간전압 기준으로 P = $\sqrt{3}$VIcosθ가 된다.
중거리 송전 선로 (집중 정수 회로)
중거리 송전 선로는 단거리 송전 선로와 다르게 정전 용량 C도 고려한다. T형 (임피던스를 이등분) 또는 $\pi$형 (어드미턴스를 이등분) 등가회로로 다룬다. 중거리 송전 선로부터는 4단자 정수(A, B, C, D)를 이용한 행렬식을 이용해 분석한다. 송전단 전압 $E_s$은 $AE_r + BI_r$로 표현하고, 송전단 전류 $I_s$는 $CE_r + DI_r$로 표현한다. 사실, 단거리 송전선로에서도 4단자 정수를 사용하여 표현할 수 있지만 전압강하 외에는 고려할 것이 없을 정도로 간단해서 불필요하다.
중거리 송전 선로 분석시 T형 (임피던스를 이등분) 또는 $\pi$형를 사용하여 분석하는 건 분석하는 사람의 선택이다. 경우에 따라 분석에 유리한 것을 사용하면 된다. 일단, 4단자 정수에 대해 감을 잡기 위해 가장 간단한 형태인 단거리 송전선로를 보자.
4단자 정수는 먼저, 아래와 같은 형태로 사용된다.
$$ \begin{bmatrix}E_s \\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_r \\ I_r\end{bmatrix} $$
단거리 송전선로를 다시 봤을 때, $R$과 $X_L$을 모두 임피던스를 $Z$로 표현하면, 4단자 정수는 아래와 같이 표현된다.
$$ \begin{bmatrix}E_s \\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & Z \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_r \\ I_r\end{bmatrix} $$
중거리 송전 선로는 어떻게 될까? T형 회로와 $\pi$형 회로를 나눠서 살펴보자.
T형 회로
T형 회로는 임피던스 Z를 반으로 나누고 그 사이에 회로간 어드미턴스는 그대로 둔다.
위 경우 4단자 정수는 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix}E_s \\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 + \frac{ZY}{2} & 1 + \frac{ZY}{4} \\ Y & 1 + \frac{ZY}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_r \\ I_r\end{bmatrix} $$
$\pi$형 회로
임피던스 Z는 그대로 두고 어드미턴스만 반으로 나눈다.
$$ \begin{bmatrix}E_s \\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 + \frac{ZY}{2} & Z \\ 1 + \frac{ZY}{4} & 1 + \frac{ZY}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_r \\ I_r\end{bmatrix} $$
장거리 송전 선로 (분포 정수 회로)
장거리 송전선로에서는 G까지 포함될 수 있다. 일반적으로 무시되기도 한다. 따라서, Z, Y는 다음과 같이 정리된다.
$$ Z = R + jwL $$
$$ Y = G + jwC \thickapprox jwC $$
4단자 정수는 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix}E_s \\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cosh \gamma l & Z_0 sinh \gamma l \\ \frac{1}{Z_0}sinh \gamma l & cosh \gamma l\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_r \\ I_r\end{bmatrix} $$
단, $Z_0$은 특성(서지, 파동, 고유) 임피던스로 $\sqrt{\frac{Z}{Y}} \thickapprox \sqrt{\frac{L}{C}}$ Ω 을 말하고, 전파정수 $\gamma$ 는 $\sqrt{ZY} = \alpha + j\beta$로 감쇠정수(전압의 감쇠, V/km), 위상정수(위상의 지연, rad/Km)를 나타낸다.
전력 원선도
송전 선로의 송전단, 수전단 전력의 특성과 물리적인 의미를 시각적으로 쉽게 파악할 수 있도록 그림을 그려서 해석하는 기법을 말한다. 4단자 정수를 활용해야 한다.
전력원선도는 향후 기술사 공부시 제대로 학습할 예정이므로 이 부분은 남겨두고, 전력원선도로 알 수 있는 사항만 확인하고 넘어간다.
- 송수전 최대 전력
- 송수전 상차각
- 손실 및 효율
- 수전단 역률
- 계통 전압을 일정하게 유지하기 위한 조상설비
조상설비
조상설비란 전압을 일정하게 유지하기 위해 무효전력을 공급하는 장치이다. 전력용 콘덴서, 분로 리액터, 동기 조상기가 있다.
페란티 현상
페란티 현상은 장거리 송전 선로에서 심야 경부하/무부하 시 수전단 전압이 송전단 전압보다 높아지는 현상을 말한다. 페란티 현상은 전선과 대지 간의 정전용량에 의해서 수전단이 충전되기 때문인데, 이를 방지하기 위해서는 변전소에 분로 리액터를 설치하거나, 발전소에서 동기 발전기를 부족여자 운전하거나, 동기 조상기를 부족여자 운전하거나, 송전 선로를 가공 송전 방식으로 하거나이다.
페란티 현상을 방지하기 위해서는 송전 선로의 작용 정전 용량을 알아야 한다. 정전 용량을 알아야 충전 전류/용량을 알 수 있고, 이 값을 알아야 적절한 분로 리액터를 설치할 수 있기 때문이다.
1선 당 작용 정전 용량은 각 상의 대지 간 정전용량 $C_s$와 전선 간 상호 정전 용량 $C_m$을 합한 값이다.
$$ C = C_s + 2C_m $$
$$ C = C_s + 3C_m $$
위 작용 정전 용량을 아래의 식에 대입하면 충전전류와 충전용량을 알수 있다.
$$ I_c = \frac{E}{X_c} = wCE = wC\frac{C}{\sqrt{3}} $$
$$ Q_c = 3wCE^2 = 3wC\right ( \frac{V}{\sqrt{3}} \left )^2 = wCV^2 $$
송전 용량
건설된 송전 선로에 송전할 수 있는 최대 전력을 말한다. 고유 부하법, 송전 용량 계수법, Still식을 사용할 수 있다. Still식은 경졔적인 전압 결정식으로도 사용할 수 있다.
$$ P = \frac{V_r ^2}{Z} = \frac{V_r ^2}{\sqrt{\frac{L}{C}}} $$
$$ P = k\frac{V_r ^2}{l} $$
$$ V = 5.5 \sqrt{0.6l + \frac{P}{100}} [kV] $$
계통 연계
별도로 운전되는 전력 계통을 송전선으로 연결해서 대규모 계통으로 운전하는 방식으로 설비 용량이 절감되므로 경제적이고, 여러 계통을 묶어서 공급 신뢰도가 높아지고, 주파수를 유지하기 쉬워진다는 장점이 있지만 연계를 했기 때문에 한 계통의 사고가 다른 계통으로 전파될 수 있다.
직류 송전
직류를 송전하게 되면 손실이 적고, 코로나가 발생하지 않고, 리액턴스가 없어서 계통 안정도도 높고, 표피효과도 없고, 절연 방식을 낮출 수 있다는 장점도 있다. 하지만, 변압이 곤란해지고 변압을 위해서는 전력변환장치(컨버터, 인버터) 등을 놓아야 하는데 고속 스위칭 방식으로 변압을 진행하므로 고조파가 발생하여 전자파가 발생한다는 단점이 있다.
코로나 현상 코로나 현상이란 계통 전압이 가해졌을 때, 전선 주변의 공기 절연이 파괴되어 빛과 소리를 내며 방전하는 현상이다. 코로나 현상이 일어나 기 위해서는 파열 극한 전위 경도를 초과해야 하는데, 파열 극한 전위 경도란 전선 표면에서 1cm 간격에서 공기의 절연이 파괴되기 시작하는 전압을 말한다. 직류는 30kV/cm, 교류는 $\frac{30}{\sqrt{2}}$kV/cm 이다. 코로나 방지를 위해서는 복도체인 굵은 전선을 사용하고, 전선 표면이 매끄럽게 유지될 수 있도록 관리해야 한다. 전선 이외에 전선을 지지하는 모든 금속의 불필요한 돌기 등을 제거(개량)해야 한다.
