필터

작성일 : 2025년 03월 29일 (Saturday)

Table of contents

전자기 간섭 (EMI; electromagnetic interference)
수동필터와 능동필터
1. 수동필터의 종류
2. 수동필터의 설계

전자기 간섭 (EMI; electromagnetic interference)

전자회로를 설계하다 보면, 주변 장치에서 발생하는 전자기장에 의해 특정 위치에 원하지 않는 신호가 전달되기도 한다. 이러한 신호 잡음을 효과적으로 제거하는 회로가 필터이다. 필터는 원하는 목적을 달성하기 위해서 낮은 주파수의 신호만 사용하거나 높은 주파수의 신호만 사용하는 방식 등 다양하게 응용된다.

수동필터와 능동필터

수동 필터와 능동 필터는 필터에 사용되는 소자에 따른 분류이다. RLC를 사용한 필터는 수동 필터, 트랜지스터나 OP AMP 등을 사용한 필터는 능동 필터로 구분한다. 수동필터는 이득이 1을 초과할 수 없지만 고주파수 대역에서 유용하게 쓸 수 있다. 가청주파수 대역 (300~3000Hz) 에서는 수동필터의 성능이 매우 떨어지고, 대용량의 인덕턴스, 커패시턴스가 요구되므로 능동필터가 주로 쓰인다.

수동필터의 종류

낮은 주파수 대역을 사용할 지, 높은 주파수 대역을 사용할 지 등에 따라 필터의 종류가 달라진다. LPF와 HPF 에서는 “차단주파수” ( 또는 “3-dB 주파수”, “반전력주파수” 등으로 불림)와 “저지주파수”라는 개념이 사용된다. “차단주파수”는 입력 대비 출력이 반으로 감소하는 주파수이고, “저지주파수”는 입력 대비 출력이 0에 근접하는 주파수를 의미한다.

수동필터의 설계

위와 같은 필터를 해석할 때는 페이저의 개념을 사용한다. 저항의 임피던스는 $R$로 표현하고, 커패시터는 $-j\frac{1}{wC}$, 인덕터는 $jwL$로 표현한다고 가정하자.

LPF (Low-Pass Filter)

LPF는 아래와 같이 설계할 수 있다. LPF는 저역주파수의 신호 정상적으로 통과시키고 고역주파수 신호는 감쇠시킨다.

페이저의 개념을 다시 떠올리며 아래를 보면 LPF의 역할을 이해할 수 있다. 차단주파수는 다른말로 신호의 세기가 0.707($\frac{1}{\sqrt{2} }$)배 되는 주파수라는 점도 상기하자. 직렬회로에서는 전원이 임피던스에 의해서 분배된다는 개념부터 식을 세워나가보자.

$$ V_{c} = V_{i} \frac{jX_{c}}{R + jX_{c}} \tag{1} $$

$$ R + jX_{c} = \left\lvert Z \right\rvert \angle{(\phi)} \tag{2} $$

$$ \left\lvert Z \right\rvert = \sqrt {R^{2} + X_{c}^{2}} $$

$$ \phi = \tan^{-1} {\frac{X_{c}}{R}} $$

$$ j = e^{j\frac{\pi}{2}} \tag{3} $$

$$ \therefore V_{c} = \frac{X_{c}}{\sqrt{R^{2} + X_{c}^{2}}} \angle{(\phi - \frac{\pi}{2})} $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{ {\frac{R}{X_{c}}}}^{2} + 1} \angle{(\phi - \frac{\pi}{2})} $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{ (wRC)^{2} + 1} } \angle{(\phi - \frac{\pi}{2})} $$

Low Pass Filter 풀이

위 식을 보면, $w = \frac{1}{RC}$ 일 때 0.707배가 되는 것을 확인할 수 있다. 페이저의 위상을 보면, 저항에 대비해서 커패시터에 걸리는 전압은 $\phi$만큼 뒤지고, 전압은 전류에 비해서 $\frac{\pi}{2}$만큼 앞선다는 것을 알 수 있다.

C 언어로 구현 (디지털 제어)

LPF를 디지털로 구현한다면 어떻게 될까? 먼저, LPF를 디지털로 구현하기 위해서는 아날로그 신호를 샘플링을 통해서 이산신호로 변경한 값을 기준으로 해야하고, 이산신호에 위 식을 적용해야 할 것이다. 이산신호나 푸리에 변환 등에 대해서는 이 블로그에 관련 글을 검색해보길 바란다.

y = x;

LPF Design Specification (https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Lowpass_Filter_Design_Specifications.html)

LPF 의 설계인자 (Design Specifications)
- Stop-Band Ripple (${\delta}_{s}$)
- Pass-Band Ripple (${\delta}_{p}$)
- Stop-Band Edge Frequency (${\omega}_{s}$)
- Pass-Band Edge Frequency (${\omega}_{p}$)
- Transition Width (TW)
- Stop-Band Attenuation (SBA) : $-20\log{\delta}_{s}$