파형률/파고율
작성일 : 2023년 11월 24일 (Friday)
교류는 모두가 알다시피 +, -가 번갈아 나타나는 전류를 말한다. 파형률(Form Factor)이란 교류파형에서의 실효값을 평균값으로 나눈값이다. 실효값은 영어로는 RMS(Root Mean Square)로 회로에 동일한 가열효과를 줄 수 있는 등가 직류값을 의미한다. 이 값이 커질수록 직류파형에 가깝다. 파형률은 파형의 평활도를 나타낸다. 파고율(Peak Factor or Crest Factor)은 실효값 대비 최대값을 의미한다. 파고율은 파형의 날카로운 정도를 나타내기 위한 것으로 값이 클수록 파형이 날카롭다. 파고율이 1에 가까울수록 직류파형에 가깝다.
파고율, 파형률을 계산하기 위해서는 실효값과 평균값을 구하는게 핵심이다. 따라서, 실효값과 평균값을 구하는 연습을 많이하고 대표적인 교류 파형에 대한 평균값, 실효값은 이왕이면 외워두면 시험에서 유리하다.
평균값과 실효값
평균값과 실효값(RMS값)은 다음의 공식을 이용한다. 교류의 평균값은 수학적은 평균값(단순 정적분을 주기로 나눈값)과는 다르다는 것을 기억하자.
$$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^2(t) \,dt } $$
$$ V_{a} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left\lvert v(t) \right\rvert \,dt $$
실효값(Vrms), 평균값(Va) 공식
대표적인 평균값, 실효값 리스트는 다음과 같다. 계산기의 성능에도 한계가 있어서 어느 정도 외워두는 것이 좋다. 사실, 정 모르겠으면 공식만 알아도 유도는 가능하다. (시간은 조금 걸릴 수도 있다..) 아래에서 최대값은 $V_m$으로 표현하였다.
| 파형 | 평균값 | 실효값 | 파고율 | 파형률 |
|---|---|---|---|---|
| 정현파 | $\frac{2}{\pi} V_m$ | $\frac{1}{\sqrt 2} V_m$ | $\sqrt 2 \approx 1.41$ | $\frac{\pi}{2\sqrt 2} \approx 1.11$ |
| 전파정류파 | $\frac{2}{\pi} V_m$ | $\frac{1}{\sqrt 2} V_m$ | $\sqrt 2 \approx 1.41$ | $\frac{\pi}{2\sqrt 2} \approx 1.11$ |
| 반파정류파 | $\frac{1}{\pi} V_m$ | $\frac{1}{2} V_m$ | $2$ | $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ |
| 파형 | 평균값 | 실효값 | 파고율 | 파형률 |
|---|---|---|---|---|
| 구형파 | $V_m$ | $V_m$ | 1 | 1 |
| 반구형파 | $\frac{1}{2}V_m$ | $\frac{1}{\sqrt 2}V_m$ | $\sqrt 2 \approx 1.41$ | $\sqrt 2 \approx 1.41$ |
| 파형 | 평균값 | 실효값 | 파고율 | 파형률 |
|---|---|---|---|---|
| 삼각파, 톱니파 | $\frac{1}{2}V_m$ | $\frac{1}{\sqrt 3}V_m$ | $\sqrt 3 \approx 1.73$ | $\frac{1}{\sqrt 3} \approx 0.87$ |
페이저와 오일러 공식
복소수 형태로 표현된 정현파를 페이저와 오일러 공식을 이용해서 변환하거나 그 역으로 변환하는 문제는 전기기사에서 단골문제이다. 이번 포스트에서는 그 원리를 정리하고 몇 가지 예시를 풀어보려고 한다.
복소수 형태로 표현된 정현파를 순시값이라고 표현한다. 페이저는 정현파에 대한 것이기 때문에 $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$ 이다.
$$ V_m sin(wt + \theta) = V_m \angle \theta = V_m e^{j\theta} $$
순시값 표현과 페이저 표현
복소수 계산 및 페이저에 대한 자세한 내용은 임피던스와 페이저를 참고하자.
관련 용어
교류에서는 전력을 유효전력 P(Active Power), 무효전력 Q(Reactive Power), 피상전력 $V_a$(Apparent Power) 3가지로 구분한다. 피상전력이란 전원에서 공급하는 전력으로 단위는 VA이다. 유효전력은 교류회로의 임피던스에서 저항에 의해서 실제 소비되는 전력을 말한다. 단위는 W이다. 무효전력은 실제로 사용되지는 않았지만 리액턴스에 의해서 소모되는 전력을 말한다. 단위는 역시 Var이다. 이 무효전력은 전원에 다시 돌려보내지기도 하지만, 자연방전되며 송전효율을 떨어뜨리기도 한다. 일반적으로 무효전력은 낭비되는 전력으로 생각한다.
여기서 중요한 개념인 역률(pf; power factor)이 있는데, 역률은 부하단에서 측정된다. 역률은 부하단에서의 피상전력 대비 유효전력의 비율을 백분율로 표현한 것으로 효율 관점에서 중요한 변수다.
