전기 에너지
작성일 : 2024년 01월 06일 (Saturday)
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에너지란 물리적인 일을 할 수 있는 능력을 말한다. 에너지는 전기에너지, 위치에너지, 운동에너지, 열에너지 등이 있지만 결과적으로는 서로 변환될 수 있는 관계라는 것이 중요하다. 에너지와 일의 단위는 J(줄;Joule)이다. 에너지를 계산함으로써 우리는 전기적으로 가진 에너지로 얼마만큼의 터빈이나 모터 등을 돌릴 수 있을지 가늠할 수 있다.
전기에너지
전하가 할 수 있는 모든 일의 양은 전기에너지가 된다. 전기에너지는 전기 입장의 위치에너지(Potential Energy)로 전기적으로 배치된 전하들이 잠재적으로 얼마만큼의 일을 할 수 있는 지 알기 위해 필요하다. 일단 일의 정의에 대해 되돌아보자. 일이란 W로 정의되고, $W = Fl$이 된다. F는 힘이고, l은 이동거리이다. 이 공식은 전기 및 물리적인 현상 모두 적용되는 식이다. 이 식을 이용해서 일의 양을 계산해보면 다음과 같다.
$$ W = Fl = \int_{a}^{b} F \cdot dl = -Q\int_{a}^{b}E \cdot dl = Q[V(b) - V(a)] $$
$$ V(b) - V(a) = \frac{W}{Q} $$
두 전하(+ ↔ -)간 에너지
만약에 아주 먼 곳($\infty$)에서부터 r 지점까지 전하를 이동시키는 일의 양을 계산하면 $V(\infty)$는 0이 되기 때문에, $W = QV(r)$이 된다.
점전하에 의한 전기에너지
점전하가 N개 존재한다고 가정했을 때, 각 점전하의 모든 전기에너지를 계산하면 어떻게 될까? 답은 간단하다. 각 점전하의 전기에너지를 더하면 된다. 위에서 우리는 W = QV라고 했는데, 이는 하나의 점전하와 무한대로 멀리 떨어진 가상의 참조점 간의 에너지로 절대적인 값을 말하고, 점전하 간 전기에너지는 실제로 존재하는 두 전하간의 에너지이다. $Q_1$, $Q_2$가 존재할 때, 두 전하가 하나의 힘 벡터를 만들어낸다. 따라서 1~N까지 모든 전하의 전기에너지를 더한다고 했을 때 2번 더해지게 되므로 모두 더한뒤 2로만 나누어주면 점전하에 의한 전기에너지가 계산된다.
$$ W = \frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{N}q_nV(r_n) $$
점전하에 의한 전기에너지
체적전하에 의한 전기에너지
체적전하에 의한 전기에너지도 점전하와 동일하다. 다만, 체적은 부피에 대해 적분해야 하기 때문에 다음과 같이 구해진다.
$$ W = \frac{1}{2}\int_V \rho V d\tau $$
체적전하에 의한 전기에너지
그런데, 가우스의 법칙에 따라서 $\rho = \epsilon \nabla \cdot E$이므로, 이를 다시 위 전기에너지 공식에 대입하고 최종적으로 나온 결과에 발산 연산자에 대한 분배법칙을 적용하여 한번 더 정리하면 다음과 같다.
$$ W = \frac{1}{2}\int_V \rho V d\tau $$
$$ = \frac{\epsilon}{2}\int_V (\nabla \cdot E) V d\tau $$
$$ = \frac{\epsilon}{2} \left [-\int_V E \cdot \nabla V d\tau + \oint_S VE \cdot da \right ] $$
$$ = \frac{\epsilon}{2} \left [\int_V E^2 d\tau + \oint_S VE \cdot da \right ] $$
가우스의 법칙이 적용된 체적전하에 의한 전기에너지 (과정)
체적전하를 겨우 감싸도록 하면 $V = -\int_{O}^{r}E \cdot dl$인데 r이 0에 수렴해서 V는 0이 되므로 최종적으로 아래와 같은 형태로 정리된다.
$$ W = \frac{\epsilon}{2} \left [\int_V E^2 d\tau + \oint_S VE \cdot da \right ] $$
$$ = \frac{\epsilon}{2}\int_V E^2 d\tau $$
가우스의 법칙이 적용된 체적전하에 의한 전기에너지 (최종)
위 형태를 보면 단위 면적당 체적전하에 의한 전기에너지는 $\frac{\epsilon}{2}E^2$임을 알 수 있다.
