행렬대수학과 특성

작성일 : 2023년 02월 04일 (Saturday)

Table of contents

행렬의 곱셈
1. 곱셈 특성
2. 주의사항
전치행렬 (Transpose Matrix)
역행렬 (Inverse Matrix)
기본행렬 (Elemental Matrix)
분할행렬 (Partitioned Matrix)
행렬분해 (Matrix Factorization)

행렬의 곱셈

행렬 곱셈 연산에서는 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 단, 항등행렬(I 혹은 단위행렬)에 대해서는 교환법칙이 성립한다.

곱셈 특성

$A(BC) = (AB)C$ : 결합법칙
$A(B + C) = AB + AC$ : 분배법칙
$(B + C)A = BA + CA$ : 분배법칙
$\mathbb{r}(AB) = (\mathbb{r}A)B = A(\mathbb{r}B)$ (for any scalar $\mathbb{r}$)
$I_{m}A = A = AI_{n}$

주의사항

$AB \neq BA$ (교환법칙 미성립)
$AB = AC \nRightarrow B = C$
$AB = 0 \nRightarrow A = \mathbb{\textbf{0}}$ or B = $\mathbb{\textbf{0}}$

전치행렬 (Transpose Matrix)

전치행렬은 행과 열을 서로 바꾼 행렬을 말한다.

전치행렬에 대해서는 아래의 특성을 만족한다.

$(A^{T})^{T} = A$
$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
$(rA)^{T} = rA^{T}$ (For any scalar $\mathbb{r}$)
$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$

역행렬 (Inverse Matrix)

역행렬은 원래 행렬에 곱했을 때 결과가 항등행렬이 되게끔 하는 행렬을 말한다. 행렬 $A$가 있을 때, 역행렬은 $A^{-1}$로 표현된다. 위에서 말했다시피 원래 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않지만, 행렬과 역행렬의 곱셈에는 교환법칙이 성립한다. ($AA^{-1} = A^{-1}A = I$)

역행렬은 아래의 같이 계산할 수 있다. (1), (2)가 만족되면 $A$는 역행렬이 존재하고, 그 역행렬은 (3)과 같다. 만약, (2)를 만족하지 못하면 역행렬이 존재하지 않는다. (2)의 ad-bc를 보통 행렬식(determinant)라고 부른다.

$$ \mathbb{\textbf{A}} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} \tag{1} $$

$$ ad-bc \neq 0 \tag{2} $$

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix} \tag{3} $$

행렬식의 특성

행렬식은 위에서 설명했듯, 역행렬이 존재하는지 판별할 때 사용된다. 행렬식의 특성은 아래와 같다.

det $A \neq 0$이면, 역행렬이 존재한다.
det $AB$ = (det $A$)(det $B$)
det $A^{T}$ = det $A$
$A$ 가 삼각행렬$^{*}$이면, det $A$는 $A$의 주 대각선의 곱이다.
행연산으로 인해 det $A$가 변하지 않는다. 행의 위치를 서로 바꾸면 det $A$의 부호가 변하고, 행에 특정 값을 곱하면 곱해진 값만큼 det $A$도 변한다.

삼각행렬 : 주 대각선의 위나 아래 값이 모두 0인 행렬

역행렬 연산 법칙

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$

역행렬 이론

$n$ x $n$ 행렬 A에 대한 아래의 명제들 중 하나라도 만족하면 나머지 명제도 모두 만족한다. 명제의 대우(Proposition)도 성립한다.

행렬 $A$는 역행렬이 존재한다.
행렬 $A$는 몇 차례의 행연산을 통해서 $n$ x $n$ 항등행렬로 변환할 수 있다. ($n \in \mathbb{N}$)
$A$는 n개의 추축점을 가진다.
$A\textbf{x}$ = $\textbf{0}$는 자명해만을 가진다.
A의 모든 열들은 선형독립이다.
선형변환 $\textbf{x} \mapsto A\textbf{x}$는 1:1 관계이다.
$A\textbf{x}$ = $\textbf{b}$는 $\mathbb{R}^{n}$에 포함된 적어도 하나의 $\textbf{b}$가 존재한다.
행렬 $A$의 열들은 $\mathbb{R}^{n}$로 확장된다.
선형변환 $\textbf{x} \mapsto A\textbf{x}$은 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{n}$에 대한 변환이다.
$CA = I$ 를 만족시키는 행렬 C가 존재한다.
$AD = I$ 를 만족시키는 행렬 D가 존재한다.
$A^{T}$는 역행렬이 존재한다.
행렬 $A$의 열들은 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이다.
Col $A$ = $\mathbb{R}^{n}$
행렬 A의 열공간의 차원은 n이다.
rank $A$ = n
Nul $A$ = {$\textbf{0}$}
dim Nul $A$ = 0
0은 A의 고유값이 될 수 없다.
A의 행렬식은 0이 아니다.

기본행렬 (Elemental Matrix)

기본행렬은 $I_{n}$(항등행렬)에 한 번의 행 연산으로 얻어지는 행렬을 말한다. 이 기본행렬을 만드는 연산을 기본행연산이라고 한다. 어떤 행렬에 기본행렬을 여러 번 곱하여 단위 행렬로 만들 수 있다면 그 행렬은 가역행렬 또는 역행렬이 존재함을 증명할 수 있고, 기본행연산으로 가역행렬 또는 역행렬을 구할 수 있다.