푸리에 변환 (이산시간)

작성일 : 2025년 05월 11일 (Sunday)

Table of contents

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)
CTFS/CTFT/DTFS/DTFT 비교
1. 예제

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)

DTFT는 연속함수를 같은 주기로 샘플링한 이산함수에 대한 푸리에 변환을 말한다. DTFT는 CTFT와 동일하게 주파수를 연속으로 늘린다는 점까지는 CTFT와 동일하지만, 샘플링을 하는 것이기 때문에 비주기함수에 사용했을 때 원신호를 복원하지 못하는 문제가 발생할 수 있어서 샘플링 주기가 중요하다. 참고로 아래에서 합성식과 역변환식은 같은 말이다.

$$ X \left ( e^{jw} \right ) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{x[n]e^{-j2\pi kn}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{x[n]e^{-jwn}} $$

Analysis Equation (DTFT)

$$ x[n] = \int_{-0.5}^{0.5}X \left ( e^{jw} \right ) e^{jwn}dk = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X \left ( e^{jw} \right ) e^{jwn}dw $$

Synthesis Equation (DTFT)

DTFT의 수렴조건 (디리클레 (Dirichlet) 조건)

DTFT가 수렴한다는 것은 각 주파수 성분들을 DTFT가 포함하게 되고, 그 결과 각 주파수에서의 크기와 위상을 알 수 있다는 의미를 갖는다. 따라서, 수렴은 굉장히 중요한 개념이다. 디리클레 조건을 만족하면 수렴조건을 만족한다고 할 수 있다. 단가함수이면서, 유한개의 불연속점을 가지고, 절대 적분가능 (유한한 에너지) 하다면 푸리에 변환이 존재한다.

$$ \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\right|< \infty $$

DTFT 특성

DTFT 특성은 아래와 같다.

DTFT 예시

DTFT 예시는 아래와 같다.

CTFS/CTFT/DTFS/DTFT 비교

푸리에 시리즈와 푸리에 변환은 주파수 별 성분을 파악할 수 있다는 특징은 동일하다. 하지만, 주기함수를 푸리에 변환에 사용하게 되면 변환값이 임펄스 형태로 나오기 때문에 주기함수는 푸리에 시리즈로, 비주기함수는 푸리에 변환으로 분석하는게 좋다. 그 이유는, 푸리에 시리즈는 주기함수이므로 한 주기만을 대상으로 분석하므로 변환값이 유한값을 갖게 되는 것이고, 푸리에 변환은 모든 값을 다 더하기 때문에 주기적으로 반복되는 값은 무한값을 갖게되기 때문에 그렇다.