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푸리에 변환 (이산시간)

작성일 : 2023년 03월 11일 (Saturday)

Table of contents
  1. DTFT (Discrete Time Fourier Transform)
    1. DTFT의 수렴조건 (디리클레 (Dirichlet) 조건)
    2. DTFT 특성
    3. DTFT 예시
      1. 예제
  2. DFT (Discrete Fourier Transform)
  3. DFT와 DTFT 비교

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)

DTFT는 연속함수를 같은 주기로 샘플링한 이산함수에 대한 푸리에 변환을 말한다. 즉, 이산신호를 변환하는 것이 아니고 연속함수를 샘플링한 신호를 이용하여 푸리에 변환하는 과정을 말한다. 여기서 $\widetilde{x}[n]$, $\widetilde{X}[k]$에 주의가 필요하다. 즉, DTFT는 주기함수의 샘플링 데이터를 이용하여 수행한 푸리에 변환이다.

$$ \widetilde{X}(k) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\widetilde{x}[n]e^{-j2\pi kn}} $$

Analysis Equation (DTFT)

$$ \widetilde{x}[n] = \int_{-0.5}^{0.5}\widetilde{X}(k) e^{j2\pi kn}dk = \oint_{2\pi}\widetilde{X}(w)dw = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\widetilde{X}(w) e^{j2nw}dw $$

Synthesis Equation (DTFT)

DTFT의 수렴조건 (디리클레 (Dirichlet) 조건)

디리클레 조건을 만족하면 수렴조건을 만족한다고 할 수 있다. 단가함수이면서, 유한개의 불연속점을 가지고, 절대 적분가능 (유한한 에너지) 하다면 푸리에 변환이 존재한다.

$$ \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\right|< \infty $$

DTFT 특성

DTFT 특성은 아래와 같다.

DFTF 특성
DFTF 특성
DFTF 특성 (좌클릭 : 확대 / 우클릭 : 축소)
× DFTF 특성

DTFT 예시

DTFT 예시는 아래와 같다.

DFTF Table
DFTF Table
DFTF Table (좌클릭 : 확대 / 우클릭 : 축소)
× DFTF Table

예제

$y[n] - 0.25y[n-1] = x[n] - x[n-2]$ for $x[n] = \sigma[n]$을 $y[n]$에 대해 정리하시오.

$$ y[n] - 0.25y[n-1] = x[n] - x[n-2] $$

$$ Y[k] - 0.25e^{-jw}Y[k] = X[k] - e^{-j2w}X[k] $$

$$ Y[k] = \frac{1 - e^{-j2w}}{1 - 0.25e^{-jw}}X[k] $$

$$ (0.25)^{n}u[n] \leftrightarrow \frac{1}{1 - 0.25e^{-jw}} $$

$$ y[n] = (0.25)^{n}u[n] - (0.25)^{n-2}u[n-2] $$

DFT (Discrete Fourier Transform)

DFT는 N개의 이산신호를 이용한 푸리에 변환이다. DSP에서는 연속신호를 샘플링하여 푸리에 변환하는 DTFT보다 이산함수를 직접 푸리에 변환하는 DFT를 더 흔히 사용한다.

업데이트 예정.

DFT와 DTFT 비교

지금 다루고 있는 내용은 Discrete Time Fourier Transform이다. Discrete Fourier Transform과는 다른 내용이므로 용어를 혼동하지 않도록 주의해야 한다.