$$ f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp\left(j \frac{2\pi k t}{T}\right) $$

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\exp\left(-j\frac{2\pi k t}{T}\right)dt = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \exp \left(-j \frac{2\pi k}{T}t\right)dt} $$

푸리에 시리즈 요약

$$ \lim_{T\rightarrow \infty}f(t)= \lim_{T\rightarrow\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T}t\right)dt}\right]exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) $$

$$ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lim_{T\rightarrow\infty} \left[ \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T}t\right)dt}\right] \exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) \frac{1}{T} $$

$$ \therefore f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(f) exp\left(j2\pi ft\right)df = \int_{-\infty}^{\infty} F(f) exp\left(jwt\right)df $$

푸리에 역변환 식 유도

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lim_{T\rightarrow\infty} \int_{-T/2}^{T/2} \left[ \frac{k}{T} \right] \cdot \frac{1}{T} $$

$$ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lim_{T\rightarrow\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{k}{T} \right] \cdot \frac{1}{T} $$

$$ = \int_{-\infty}^{\infty} f df $$

$$ X(jw) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \exp\left(-jwt\right)dt $$

푸리에 변환 식

$$ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(jw) exp\left(jwt\right)df $$

$$ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(jw) exp\left(jwt\right)dw $$

푸리에 역변환 식

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