푸리에 시리즈 (이산 시간)
작성일 : 2023년 03월 11일 (Saturday)
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이산시간 푸리에 시리즈는 연속시간 푸리에 시리즈를 샘플링한 것에 지나지 않는다. 아래를 보자.
CFS와 DFS의 비교
CFS(Continuous Fourier Series)와 DFS(Disrete Fourier Series)식은 아래와 같다.
$$ f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{j\frac{2\pi k t}{T}} $$
$$ c_k = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t) e^{-j\frac{2\pi k t}{T}}dt $$
CFS
$$ \widetilde{X}[k] =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}[n] e^{-j \frac{2\pi k}{N}n} \text{ for }k= 0, 1, \cdots, N-1 $$
Analysis Eqution (DFS)
$$ \widetilde{x}[n]=\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X}[k] e^{j\frac{2\pi k}{N}n} $$
Synthesis Eqution (DFS)
눈에 띄는 점은 CFS는 적분의 범위가 $k=-\infty \sim \infty$이지만, DFS에서는 범위가 $N=0 \sim N-1$로 음의 범위를 포함하지 않는다는 것이다. 그 이유는 연속신호에서는 주파수가 조금이라도 다른 경우에는 내적의 결과가 0이므로 모두 다른 신호라고 볼 수 있지만(실제로 그래프를 그려봐도 다르다), 이산신호에서는 $w_{1}+w_{2} = 2\pi$를 만족시키는 $w_{1}$과 $w_{2}$에 대한 복소정현파의 그래프가 서로 같기 때문이다. 아래의 그림들을 참고하자.
위 그림을 보면, 파형들이 주파수가 0부터 N-1까지 변화할 때 모양이 조금씩 달라지다가 $\pi$를 기준으로 다시 동일한 파형으로 돌아온다는 것이다. 따라서, 이산시간 푸리에 시리즈는 주파수를 0부터 N-1까지만 갖는 것이다. 이를 수학적으로 표현하면 아래와 같다. 이산시간 푸리에 시리즈 역시 페이저를 사용하여 극좌표계에 주기함수를 감아서 표현하기 때문에 이산시간에서 복소정현파 $e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}$이 주기 N마다 값이 동일하다는 것만 확인하면 주기 N마다의 샘플링된 값은 동일하다는 것을 증명할 수 있다.
$$ e_{k + aN}[n] = e^{j(\frac{2\pi (k + aN)n}{N})} = e^{j(\frac{2\pi (k)n}{N})}e^{j(\frac{2\pi (aN)n}{N})} = e^{j(\frac{2\pi (k)n}{N})} = e_{k}[n] $$
이산시간 복소정현파의 동일성. k, a는 정수.
푸리에 시리즈에서 복소정현파를 사용하는 이유
푸리에 시리즈에서 복소정현파를 사용하는 이유에 대해서는 이전 연속시간 푸리에 시리즈 포스트에서 다뤘다. 이유는 동일하다.
이산시간에서의 내적은 아래와 같이 표현한다.
$$ \sum_{n=0}^{N-1}{\phi_k[n]\phi^*_p[n] =0 \text{ when } k\neq p } $$
DFS 특성
$$ \widetilde{x_1}[n] \leftrightarrow \widetilde{X_1}[k] $$
$$ \widetilde{x_2}[n] \leftrightarrow \widetilde{X_2}[k] $$
$$ a_1\widetilde{x_1}[n] + a_2\widetilde{x_2}[n] \leftrightarrow a_1\widetilde{X_1}[k] + a_2\widetilde{X_2}[k] $$
Linearity
$$ \widetilde{x_1}[n]\widetilde{x_2}[n] \leftrightarrow \sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{X_1}[k]\widetilde{X_2}[k - n] $$
$$ \widetilde{X_1}[k]\widetilde{X_2}[k] \leftrightarrow \sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x_1}[m]\widetilde{x_2}[n - m] $$
Convolution & Duality
