전기역학

작성일 : 2024년 04월 04일 (Thursday)

Table of contents

옴의 법칙
기전력 $\varepsilon$ (emf;elctromotive force)
운동 기전력 혹은 유기 기전력 (motional emf) $\varepsilon$
1. 패러데이/렌츠의 법칙

옴의 법칙

전기역학이란 전기장에 의한 역학을 말한다. 역학은 물체의 운동에 관한 법칙을 다루는 학문으로 전기역학이란 전기장에 의한 전하의 운동의 법칙을 다루는 학문이라고 할 수 있겠다. 그러면, 그동안 다뤄온 내용과 별반 달라질 것은 없다. 하지만 이번 포스트에서는, 우리가 V = IR 이라는 정제된 옴의 법칙을 다루기 전, 전기장을 중심으로 조금 더 원초적으로 분석해보는 단계라고 할 수 있겠다.

먼저, 단순하게 생각해도 전기장은 전하를 움직일 수 있는 힘이 있다. 쿨롱의 법칙과 단위 전하 1C를 이용하면 전기장이란 특정 전하가 단위 전하 1C에 가하는 힘과 방향을 나타내는 벡터장이다. 그리고 이 식은 선형이므로 전기장과 전하밀도는 비례의 관계에 있다는 것을 추론할 수 있다.

$$ J = \sigma E $$

옴의 법칙(전기장과 전하밀도의 관계)

여기서 $\sigma$는 이전에 다뤘던 면전하밀도가 아니고 물질의 전도율을 나타낸다. 물질의 전도율은 물질마다 다르다. 물질의 전도율의 역수는 비저항이다.

이제 위의 옴의 법칙을 이용해서 우리가 알고 있는 조금 더 친숙한 버전의 옴의 법칙 V = IR을 구해보자.

전류밀도 J는 $\frac{A}{m^2}$이다. 따라서, 전류를 전류밀도와 부피로 나타내면 JA가 된다. 옴의 법칙을 적용하면, $E = JA = \sigma EA$ 가 된다. 그런데, 도체 내에서의 전기장은 일정하므로 $E = \frac{V}{L}$이 된다. 따라서, $E = \frac{\sigma A}{L}V$ 로 정리되고, $R = \frac{\sigma A}{L}$ 이 된다.

기전력 $\varepsilon$ (emf;elctromotive force)

우리가 회로에 배터리를 연결했을 때 전류가 어떻게 알아서 도선을 따라 흐르는 걸까? 메커니즘을 살펴보면 그 답은 평형에 있다. 배터리를 도선과 연결하면 도선이 배터리에 비해서 전위가 낮기 때문에 도선을 향해 전하가 이동하게 되고, 도선 내로 전하가 이동하게 되면, 굽어진 쪽의 바깥쪽에 먼저 전하가 쌓이게 되는데 그렇게 되면 바깥쪽에서 안쪽으로 다시 전계가 형성되면서 전하가 안쪽방향으로 흐르게 되고 시간이 지남에 따라 평형을 이루며 도선을 따라 전류가 잘 흐르게 되는 것이다. 만약 회로가 배터리의 +에서 시작해서 -로 연결되어 있다면 평형을 이뤘을 때 배터리의 전압 V가 양단에 걸리게 된다. 이렇게 평형을 이뤄 도선의 양단의 전압이 V로 유지되게끔 해주는 힘을 기전력이라고 한다.

기전력의 공식은 다음과 같다. $f_s$는 위에서 살펴본 평형을 이루게 해주는 도체 내의 전계라고 생각하면 된다.

$$ \varepsilon \equiv \oint f \cdot dl = \oint f_s \cdot dl $$

$$ f = f_s + E $$

$$ (정전계 내에서는 f = f_s \because \oint E \cdot dl = 0) $$

기전력 공식

운동 기전력 혹은 유기 기전력 (motional emf) $\varepsilon$

우리가 발전기의 원리를 이해하기 위해서는 운동 기전력을 이해해야 한다. 자기장이 있는 영역으로 전선을 이동할 때 운동 기전력이 발생한다.

자기장(회색영역)이 일정한 공간에서 전기회로가 밖으로 나가는 방향으로 이동

이전에도 얘기했던 내용이지만 자기력은 아무런 일을 하지 않는다. 즉, 힘의 방향만 바꿀 수 있는 곳으로 작용한다. 운동 기전력은 자기력이 만든 것이 아니고, 자기력에 반하는 쪽으로 일을 하게 한 사람, 기계 등이 만들어냈다고 볼 수 있다. 위의 그림에서 자기장이 만약 위에서 아래로 향한다면 로렌츠 법칙을 생각해보면 $v \times B$ 이므로 오른나사법칙으로 보면 b에서 a로 전기가 흐르고 자기장이 반대라면 그 반대 방향으로 전기가 흐른다.

이제 운동 기전력의 크기를 구해보자. 크기를 구하기 위해서는 패러데이의 법칙을 사용하면 된다.

패러데이/렌츠의 법칙

위 그림과 같이 막대자석이 코일에 가까워지면 자속이 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 증가하므로 유도기전력(유도전압)은 렌츠의 법칙에 따라 자속이 증가하는 반대 방향으로 전압이 생성된다. 그 크기는 패러데이의 법칙에 따라 자속의 변화량이다. 전자기 유도 현상은 작용-반작용 현상의 일종이다. 위 그림에서 막대자석이 N극 쪽을 코일쪽으로 가져다대면 코일이 마치 막대자석이 가까이 오는 것을 방해하는 것처럼 내부에 자기장이 형성된다.

N은 코일을 감은 횟수로 아래 ‘코일 간의 자기력선 상쇄 효과’ 그림을 참고해보면, 코일을 감은 횟수만큼 더 많은 전압이 유기될 것임을 직감적으로 알 수 있다.

$$ v_{ind} = -(\frac{d\Phi}{dt}) = -N(\frac{d\phi}{dt}) = -L(\frac{di}{dt}) $$