전달함수와 안정도 분석
작성일 : 2023년 01월 23일 (Monday)
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시스템 안정도
시스템이 안정적이라는 의미는 과도응답이 언젠가는 0으로 수렴한다는 의미이다. 더 정확히는 제한된 입력이 들어왔을 때 출력이 특정 범위내로 제한된다면 그 시스템은 안정적이다.
$ \lim_\limits{t \to \infty} y_t(t) = 0 $
하지만, 시간 도메인 함수를 단순히 위 식으로 안정도를 평가하는 것은 쉽지 않다. 식을 간단하게 하기 위해서 라플라스 변환을 수행하여 f(t)를 F(s)로 변환한 뒤, 특성방정식을 이용해서 안정도를 분석하는 것이 가장 간편한 방법이다.
특성방정식 (Charateristic Equation)
전달함수의 분모가 되는 함수를 특성방정식이라고 한다. 특성방정식의 근의 위치에 따라서 시스템이 안정적일 수도 있고, 불안정할 수도 있다.
Routh-Hurwitz Criterion
특성방정식을 풀기 쉬울 때는 위 조건에 의해서 안정도를 평가하는 것이 쉽지만, 고차방정식으로 갈수록 정확한 근의 위치를 찾기가 어려워진다. 이 때 사용되는 것이 로스-허위츠 방정식이다.
예를 들어서, $a_6s^{6} + a_5s^{5} + a_4s^{4} + a_3s^{3} + a_2s^{2} + a_1s^{1} + a_0 = 0$식이 있을 때, 근이 S평면상 좌측평면에 위치하는지 우측평면에 위치하는지 판별하기 위해서는 아래와 같이 계산하면 된다. (아래의 배열은 Routh's tabulation 혹은 Routh's array로 불린다.) 첫번째 열의 부호가 바뀌는 횟수가 우평면 상에 위치한 근의 개수이다. 즉, 시스템이 안정하기 위해서는 부호의 변동이 있어선 안된다.
