임피던스와 페이저

작성일 : 2023년 01월 07일 (Saturday)

Table of contents

임피던스

임피던스

임피던스란 교류회로에서 사용하는 개념이다. 사실, 직류회로는 순수 자연적으로는 존재하지 않고 교류전원을 이용하여 컨버터 등의 응용회로를 사용하여 여러 번의 필터를 걸쳐 최대한 평활을 했을 때의 결과라고 생각하면 된다. 직류회로를 교류회로의 해석에 응용하려면 주파수가 0인 특수한 경우를 생각하면 된다.

리액턴스

리액턴스란 용어의 사전적 뜻은 반응을 보이는 정도를 의미한다. 전기에 있어서도 리액턴스의 의미는 변하지 않는다. 유도성 리액턱스는 인덕터에 의한 것이고, 용량성 리액턴스는 커패시터에 의한 것이다. 인덕터는 전기에너지를 자기장의 형태로 저장하는 장치이고, 커패시터는 전기에너지를 전기장의 형태로 저장한다. 에너지를 저장한다는 것은 반대로 소스의 입장에서 생각하면 양전하가 +에서 시작해서 -로 흘러야 하는데 (실제로는 전자가 -에서 +로 흐름.) 그 에너지가 커패시터, 인덕터에 의해서 각각 전기장, 자기장으로 저장되는 것이기 때문에 분극포화, 자기포화가 되기 전까지는 방해성분(임피던스)이 된다. 즉, 리액턴스란 위상이 변화함에 따라 커패시터, 인덕터가 반응하는 정도를 나타내는 것이다. 커패시터의 리액턴스가 $\frac{1}{wC}$, 인덕터의 리액턴스가 $wL$이라는 점을 상기해보면 커패시터는 주파수가 작을 수록 리액턴스가 크고 인덕터는 그 반대라는 것을 알 수 있다.
위에서 직류회로는 교류회로의 연장선 상에 있고, 교류회로에 주파수가 0인 경우라고 말을 했는데 위 리액턴스에 $w = 0$을 대입해보면, 어떤 의미인지 이해가 될 것이다. 직류회로에서 커패시터는 개방회로처럼 동작하고, 인덕터는 크기가 매우 작은 저항처럼 동작한다.

페이저 (위상자)

교류전원의 전압 역시 페이저로 표현되기도 한다. 페이저로 표현된 전압식을 임피던스로 나누어주면 전류를 쉽게 구할 수 있다. 페이저는 주로 정현파를 사용하는 교류에서 많이 사용되는데, 그 이유는 시간 도메인에서는 무한히 길게 표현해야 하는 교류를 복소수 평면위에 그린 페이저를 이용하면 각주파수를 이용한 전기각으로 표현하여 한 눈에 파악할 수 있기 때문이다. 위상각은 φ 로 표현되고, 0~2π로 표현하는데, 음의 주파수 영역을 고려하면, -π ~ π로 표현하기도 한다. 라플라스 변환을 사용하면 아래와 적분, 미분을 단순 대수 방정식의 항으로 변환할 수 있다.

예를 들어서, $sin(wt + \theta)$를 페이저로 표현하면 다음과 같다. 출발점이 $\theta$만큼 밀렸고, 각속도(각주파수) w에서 시간 t만큼 경과하는 경우 벡터가 가르키는 방향은 바뀔 것이다. 시간 t에 대한 최종 전기각은 $wt + \theta$가 된다.

임피던스의 계산

두 임피던스의 연산은 아래와 같이 계산할 수 있다. 덧셈/뺄셈은 복소수의 형태로 하는 편이 간편하고, 곱셈/나눗셈/역수/켤레(공액)임피던스 연산은 페이저를 이용하는 편이 간단하다.

리액턴스와 복소수 좌표계

일반적으로 임피던스는 복소수 좌표계 위에 표현된다. 임피던스가 Z = $ R + jX $ 로 표현된다는 점을 생각해보면 이해가 된다. 여기서 X 는 총 리액턴스로 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스를 합한 값이다. 위 그림에서 확인할 수 있듯, 용량성 리액턴스는 90도 뒤지고 용량성 리액턴스는 90도 앞선다는 것을 알 수 있다.
임피던스의 크기(원점으로부터의 거리)는 $\left\lvert Z \right\rvert $, 위상(실수축과의 각도)은 $\phi $(phi)로 쓰인다.

$$ \left\lvert Z \right\rvert = \sqrt{R^{2} + X^{2}} $$

$$ \phi = \tan^{-1}{\frac{X}{R}} $$

임피던스의 크기와 위상